Ejercicios Resueltos: Suma y Resta de Fracciones

Resolver los siguientes problemas propuestos:

1) Una empresa tiene 240 empleados. 2/3 trabajan en el turno de mañana; 1/4 en el turno de tarde, y el resto, en el turno de noche. ¿Cuántos empleados trabajan por la noche?

2) Tres alumnos se reparten la tarea de matemáticas que les han puesto en clase. Marta resuelve la mitad de los ejercicios, Andrés, la cuarta parte, y Enrique, el resto, que son dos ejercicios. ¿Cuántos ejercicios tenían que hacer en total?

3) Amelia ha consumido 3/8 de una caja de bombones, y su hermano Paco, 1/3 de la misma. Si aún quedan 7 bombones, ¿Cuántas unidades había antes de abrir la caja?

4) En un salón de clases, la mitad de los alumnos estudian Química; 2/5 estudian Matemáticas, y el resto, que son 15, estudian Física. ¿Cuántos alumnos tiene el salón?

5) Un depósito estaba lleno de agua. Primero le sacaron 5/8 de su contenido, después 1/6 de lo que quedaba en el depósito. ¿Cuál es la fracción de agua que queda?

6) Un camión posee 600 litros de leche. La mitad se envasó en botellas de 1/3 de Litro, 2/3 de lo que quedaba fue envasado en botellas de 1/4 de Litro, y el resto de la leche se envasó en botellas de 1/2 de Litro. ¿Cuántas botellas en total se llenaron?

7) Un pueblo tiene 3000 habitantes. Los 19/15 de los habitantes tienen menos de 20 años, los 7/60 de los habitantes tienen entre 20 y 30 años. ¿Cuántos habitantes tienen más de 30 años?

8) En un concurso de dibujo se presentaron 90 participantes; 1/18 ganaron una tablet, 1/9 ganaron un libro, y el resto obtuvieron como premio de consolación un lápiz. ¿Cuántos participantes obtuvieron uno de los dos primeros premios?

9) Margarita se gasta 2/5 del dinero que tiene para comprarse un DVD y 1/4 de lo que le sobra en comida. ¿Qué fracción de dinero le queda?

10) Para llegar de Medellín a Barranquilla de vacaciones, una familia ha recorrido por la mañana 2/3 del camino; por la tarde 2/3 de lo que faltaba y ahora están a 30 Km de Barranquilla. ¿Cuál es la distancia total de Medellín a Barranquilla?

Respuesta al Ejercicio N° 1

Respuesta al Ejercicio N° 2

Respuesta al Ejercicio N° 3

Respuesta al Ejercicio N° 4

Respuesta al Ejercicio N° 5

Respuesta al Ejercicio N° 6

Respuesta al Ejercicio N° 7

Respuesta al Ejercicio N° 8

Respuesta al Ejercicio N° 9

Respuesta al Ejercicio N° 10

Los Cuadrantes, las Ordenadas y las Abscisas

¿Qué son?

Las ordenadas son las líneas perpendiculares (verticales) al eje "X"; y las abscisas son las líneas perpendiculares al eje "Y" (horizontales), por lo tanto el eje "X" es llamado el eje de las Abscisas y el eje "Y" es el eje de las Ordenadas. El punto "Cero" se llama Origen de las Coordenadas. El eje "X" y el eje "Y" forman 4 divisiones en el plano cartesiano llamados "Cuadrantes".

Importante

1) Las coordenadas de un punto cualquiera se representan por los valores (x, y), siendo "x" un número en el eje de las abscisas y "y" un número en el eje de las ordenadas.

2) En la representación gráfica de coordenadas (en el plano cartesiano) a la primera coordenada ("x") se la llama "abscisa" y a la segunda coordenada ("y") se la denomina "ordenada"

3) El punto +1 en el eje de ordenadas tiene su abscisa igual a 0.

4) El punto -1 en el eje de abscisas tiene su ordenada igual a 0.

Dominio y Rango de una Función

¿A qué se le llama "Dominio y Rango"?

Para que exista una función tiene que haber correspondencia entre los elementos de dos conjuntos, por lo tanto dicho palabras sencillas el Dominio de una función vendrían a ser todos los elementos del conjunto inicial; mientras que el Rango estaría conformado por todos los elementos del conjunto final.

En el ejemplo

• El Dominio de la función f(x) es: D(f) = {3; 5; 7; 9}
• El Rango de la función f(x) es: R(f) = {2; 4; 6; 8}
• La función f(x) = y; es: f(x) = {(3,2); (5,4); (7,6); (9,8)} 

Importante

• El Dominio de una función se expresa: D(f)
• El Rango de una función se expresa: R(f)

La función en sí misma se expresa: f(x) = y; esto quiere decir que la variable "y" (el rango) está función de la variable "x" (el dominio); por lo tanto los valores de "y" dependerán de los valores que tome la variable "x" por esa razón cuando "x" es "3" el valor de "y" es "2" y así sucesivamente.

Funciones y Relaciones

¿A qué se llaman "Funciones"?

Una "función" es una correspondencia que asigna a cada elemento de un conjunto "A" (Dominio) un único elemento de un conjunto "B" (Rango). En el plano cartesiano, se traza una línea vertical (paralela al eje "y") y si la línea corta a la curva en un solo punto se dice que la gráfica es una función.

¿A qué se llaman "Relaciones"?

Por otra parte la "relación" a diferencia de la "función", se caracteriza porque a los elementos de su Dominio (en el ejemplo es el conjunto "C") le corresponde uno o más elementos del Rango (en el ejemplo es el conjunto "D"). En el plano cartesiano, si al trazar una línea vertical (paralela al eje "y") ésta corta a la curva en más de un punto se dice que no es una función, por lo tanto sería una relación.

                             FUNCIÓN                                               RELACIÓN

FUNCIÓN                                              RELACIÓN

Mínimo Común Múltiplo (MCM), Máximo Común Divisor (MCD)

¿Qué es el Mínimo Común Múltiplo (MCM)?

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos y se determina descomponiendo todos los números en sus mínimos factores y multiplicando éstos entre sí.

¿Qué es el Máximo Común Divisor (MCD)?

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número entero que los divide sin dejar residuo; y se determina descomponiendo los números en sus mínimos factores pero a diferencia del mínimo común múltiplo sólo se toma el producto de aquellos factores que dividen a todos los números.

Triángulos Notables

¿Qué son los Triángulos Notables?

Un triángulo notable es todo triángulo rectángulo cuyos lados se pueden conocer sin necesidad de medirlos, basta sólo con saber el valor de sus ángulos internos.

Triángulos Notables más usados:

A continuación se detallan los triángulos notables más usados en la resolución de problemas, no está de más aclarar que existen más triángulos notables, no obstante su uso es poco frecuente en exámenes de admisión; por lo que sólo recomiendo aprender estos cinco triángulos de memoria.

Logaritmos: Definición y Propiedades

¿Qué es un "Logaritmo"?

En palabras sencillas y practicas los "logaritmos" son como las "pontecias" pero al revés; es decirr, mientras que en una potenciación elevamos una base a determinado exponente para obtener un núnero, en los "logaritmos" de cualquier base lo que tratamos de hacer es hallar el "exponente" al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Propiedades de los Logaritmos:

Puntos para tener en cuenta:

• Si se tiene una igualdad de dos logaritmos de misma base pero de números distintos, entonces se simplifican los logaritmos y la nueva igualdad será sólo entre los números (ver propiedad N° 5).
• En todo sistema de logaritmos, cuando el "número" es "1" entonces el resultado siempre será "0", porque toda "base" elevada a la cero siempre será "1" (ver propiedad N° 6).
• En todo sistema de logaritmos, cuando el logaritmo de un "número" es igual al de su "base" entonces el resultado siempre será "1". (ver propiedad N° 7); o en el caso de que el número esté elevado a un exponente el resultado siempre será el "exponente" (ver propiedad N° 8).
• Debido a que el Log1=0 entonces todos los logaritmos de números mayores que "1" siempre serán de resultado positivo ya que serán siempre mayores que cero.

¿Existen logaritmos de números negativos?

La respuesta es NO, no existe exponente que al realizar la operación de una base positiva dé como resultado un número negativo, es decir, nunca se podrá operar (al menos en los números reales) un logaritmo de la forma Log -x = y; ya que si en una potencia, la base es positiva, al elevarla a cualquier exponente (independientemente del signo) el resultado indudablemente será un número positivo.

Productos Notables

¿Qué son los "Productos Notables"?

"Productos Notables" es la forma en que se conocen a algunas expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas al momento de realizar su respectiva multiplicación. Una de las grandes ventajas que obtenemos al usar los "Productos Notables" en la resolución de problemas, es que podemos expresar de manera sencilla y rápida los resultados de una expresión, sin necesidad de realizar la operación de la misma.

Cabe resaltar que los productos notables se usan tanto en problemas de Matemáticas como en Física, y la mayoría de universidades las usan en sus preguntas de exámenes de admisión.

Productos Notables más usados

A continuación se detalla una lista con los productos notables más usados. Sugeriría que al menos se puedan aprender de memoria los siguientes:

- Binomio al Cuadrado (Suma & Resta)
- Diferencia de Cuadrados
- Diferencia de Cubos
- Suma de Cubos

Ejercicios Resueltos de Geometría: Área y Perímetro - Parte 1

Nota 1: Para resolver estos ejercicios de Geometría básica, es necesario primeramente saber las fórmulas de las áreas y perímetros de los Triángulos Rectángulos, Cuadrados y Circunferencias. A fin de recordar las fórmulas puedes consultar las siguientes publicaciones:

• FÓRMULAS DE ÁREAS Y PERÍMETROS
• TEOREMA DE PITÁGORAS

Nota 2: Las soluciones a los ejercicios propuestos las podrán encontrar al final del post.

Hallar el área y el perímetro de las siguientes figuras sombreadas:

Respuestas a los Ejercicios 1 y 2

Respuestas a los Ejercicios 3 y 4

Respuestas a los Ejercicios 5 y 6

Respuestas a los Ejercicios 7 y 8

Área y Perímetro: Triángulo, Cuadrado y Círculo

Definición de Área:

El área de una figura geométrica es todo el espacio comprendido dentro de la misma. Por lo general el área se da en metros cuadrados (m²).

Definición de Perímetro:

El perímetro es la medida del contorno que rodea al área. El perímetro se da en metros (m).

A continuación se detallan las fórmulas para hallar el área y perímetro respectivos de las figuras más comunes: Triángulo, Cuadrado y Círculo.

   Área y Perímetro de un Triángulo Rectángulo:

   Área y Perímetro de un Triángulo:

   Área y Perímetro de un Cuadrado:

   Área y Perímetro de un Rectángulo:

   Área y Perímetro de una Circunferencia:

Teorema de Pitágoras: Triángulos Rectángulos

Pitágoras de Samos fue un filósofo y matemático griego a quien se considera el primer matemático puro de su época. Una de sus mayores contribuciones es el viejo y conocido "Teorema de Pitágoras"; el cual es muy utilizado en el campo de la geometría plana, y que ha hecho de este filósofo de antaño un personaje inmortal.

La aplicación de este teorema tiene que ver única y exclusivamente con los triángulos rectángulos, y a fin de poder tener una mejor comprensión del tema debemos conocer primeramente ciertos datos básicos:

¿Qué es un triángulo rectángulo?

Un triángulo rectángulo no es un triángulo dentro de un rectángulo (jajaja), sino que es todo triángulo con dos lados que forman un ángulo de 90º (a esto se le llama ángulo recto). Casi siempre el ángulo recto es representado como un pequeño cuadradito negro o blanco en una de las esquinas del triángulo; por lo tanto cuando veamos este cuadradito sabremos automáticamente que se trata de un "Triángulo Rectángulo". Aquí algunos ejemplos:

¿"Hipotenusa" y "Catetos"?

Un triángulo como su nombre lo indica consta de 3 lados, en el caso de los triángulos rectángulos 2 lados se llamarán "catetos" y 1 solo lado se llamará "hipotenusa". La hipotenusa siempre será el lado opuesto al ángulo de 90º y por ende los demás lados serán los catetos, tal como lo muestra la figura.

¿Para qué sirve el Teorema de Pitágoras?

El Pitágoras establece que: H² = C² + C², pero ¿Pára qué sirve?. Dicho en "español", el Teorema de Pitágoras generalmente sirve para resolver problemas matemáticos donde sólo se conocen dos de los lados del triángulo rectángulo. Aquí algunos ejemplos:

No está de más mencionar que se debe tener cierto conocimiento básico sobre "Álgebra" a fin de no complicarse la vida con los cambios de signo, las potencias y las raíces. Espero que este pequeño post les haya sido de utilidad. ¡Saludos!